KALKULUS ITU MUDAH LHO !!! EXTRIM LOKAL PADA SELANG

EKSTRIM LOKAL PADA SELANG

Nilai Ekstrim Suatu Fungsi

Dalam kalkulus, sering kita diminta untuk menentukan karakteristik suatu fungsi f pada selang I. Apakah f memiliki nilai maksimum pada I? Apakah f memiliki nilai minimum pada I? Di manakah fungsi tersebut naik? Di manakah fungsi tersebut turun? Pada pembahasan ini kita akan menggunakan turunan untuk mencoba menjawab sebagian pertanyaan-pertanyaan tersebut.

---

Definisi Nilai Ekstrim

Misalkan f terdefinisi pada selang I yang memuat c.

1. f(c) merupakan nilai minimum f pada I jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam I.
2. f(c) merupakan nilai maksimum f pada I jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam I.

Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu disebut sebagai nilai ekstrim suatu fungsi pada selang tersebut. Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu juga disebut sebagai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada selang tersebut. Nilai ekstrim suatu fungsi dapat terjadi pada ujung selang. Nilai ekstrim yang terjadi pada ujung selang disebut nilai ekstrim ujung.

---

Suatu fungsi tidak harus memiliki nilai minimum atau maksimum pada selang tertentu. Sebagai contoh, pada gambar (1) dan (2) di atas, kita dapat melihat bahwa fungsi f(x) = x² + 1 memiliki minimum dan maksimum pada selang tutup [–1, 2], tetapi tidak memiliki maksimum pada selang buka (–1, 2). Selain itu, pada gambar (3), kita dapat melihat bahwa kekontinuan dapat mempengaruhi keberadaan nilai ekstrim pada suatu selang. Hal ini menghasilkan teorema berikut.

Teorema 1 Teorema Nilai Ekstrim

Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai minimum dan maksimum pada selang tersebut.

Teorema Nilai Ekstrim di atas dapat disebut sebagai teorema keberadaan karena teorema tersebut hanya menyebutkan keberadaan nilai minimum dan maksimum, tetapi tidak menunjukkan bagaimana menentukan nilai-nilai tersebut.

Nilai Ekstrim Lokal dan Nilai Kritis

Pada gambar di bawah ini, grafik f(x) = x³ – 3x² memiliki maksimum lokal pada titik (0, 0) dan minimum lokal pada titik (2, –4). Secara tidak formal, untuk suatu fungsi kontinu, kita dapat berpikir bahwa maksimum lokalnya berada pada “bukit” grafik, dan minimum lokalnya terletak pada “lembah” grafik. Bukit dan lembah seperti itu dapat terjadi dalam dua cara. Ketika bukit atau lembah tersebut halus, grafik fungsi yang memuat bukit atau lembah tersebut memiliki garis singgung horizontal pada puncak bukit atau lembah tersebut. Ketika bukit atau lembah tersebut tajam, grafik fungsi yang memuatnya tidak akan memiliki turunan pada puncak bukit atau lembah tersebut.

---

Definisi Nilai Ekstrim Lokal

1. Jika ada selang buka yang memuat c sedemikian sehingga f(c) merupakan nilai maksimum, maka f(c) disebut maksimum lokal f, atau kita dapat menyatakan bahwa f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).
2. Jika ada selang buka yang memuat c sedemikian sehingga f(c) merupakan nilai minimum, maka f(c) disebut minimum lokal f, atau kita dapat mengatakan bahwa f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).

Maksimum lokal dan minimum lokal secara berturut-turut kadang disebut sebagai maksimum relatif dan minimum relatif.

1. Maksimum dan Minimum fungsi pada interval tertutup

→Definisi Maksimum dan Minimum

Jika c adalah interval tertutup [ a , b ], maka f(c) dikatakan nilai minimum dari

f(x) pada [a , b] jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x pada [a, b]. Jika d dalam interval tertutup [a, b], maka f(d) dikatakan maksimumdari f(x) pada [a, b] jika f(x) ≤ f(d) untuk semua x dalam [a, b].

Teorema A

( Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup

[a, b] , maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

Perhatikan kata-kata kunci : f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup.

Di MANA TERJADINYA NILAI-NILAI EKSTRIM ? Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung (lihat Gambar 2).

Jika c sebuah titik pada mana f ‘(c) = 0, kita sebut c titik stasioner. Nama itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stasioner, grafik f mendatar, karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim sering terjadi pada titik-titik stasioner (lihat Gambar 3).

Akhirnya, jika c adalah titik dalam I dimana f ‘ tidak ada, kita sebut c titik singular. Ini merupakan titik dimana grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertical, atau mungkin berupa lompatan (atau didekatnya ia bergoyang sangat buruk). Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular (lihat Gambar 4).

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f (c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:

(i) titik ujung dari I;

(ii) titik stasioner dari f(f ‘(c) = 0);

(iii) titik singular dari f(f ‘(c) tidak ada)

Sekarang, karena f(c) adalah nilai maksimum, f(x) ≤ f(c) untuk semua x dalam I;

Yaitu,

f(x) – f(c) ≤ 0

Jadi jika x < c, sehingga x – c < 0, maka

(1) f(x) – f(c)

x – c ≥ 0

Sedangkan jika x > c, maka

(2) f(x) –f(c)

≤ 0

x – c

DI MANA NILAI-NILAI EKSTRIM LOKAL TERJADI? Teorema titik kritis berlaku sebagaimana dinyatakan, dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular) adalah calon untuk titik tempat kemungkinan terjadinya ekstrim lokal.

Teorema A

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Amdaikan f kontinu pada selang terbuka

(a, b) yang memuat titik kritis c.

(i) Jika f‘ (x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’ (x)<0 untuk semua x dalam (c, b),

maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii) Jika f’ (x)<0 untuk semua x dalam (a, c) dan f ‘(x)>0 untuk semua x dalam (c, b),

maka f (c) adalah nilai minimum local f.

(iii) Jika f‘ (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B

(Uji Turunan Kedua Untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f ‘dan f “ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat c, dan andaikan f ‘(c) = 0

(i) Jika f “(c)<0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii) Jika f“ (c)>0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

B. Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

DEFINISI-DEFINISI CERMAT LIMIT BILA x→± ~ Dalam analogi dengan definisi kita untuk limit-limit biasa, kita buat definisi berikut.

Definisi

(Limit bila x → ~). Andaikan f terdefinisi pada [c, ~) untuk sebuah bilangan c.

Kita katakana bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan

x→ ~

M yang berpadanan sedemikian sehingga

x > M → ‌│f(x) – L │ < ε

Definisi

(Limit bila x → ~). Andaikan f terdefinisi pada (- ~, c] untuk suatu bilangan c. kita katakana bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat

x → – ~

suatu bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

x < M → │ f(x) – L │ < ε

Definisi

(Limit-limit tak-terhingga). Kita katakana bahwa lim f(x) = ~ jika untuk tiap bilangan

x→c⁺

positif M, berpadanan sudut δ > 0 sedemikian sehingga

0 Teorema Nilai Rata-rata

Dalam bahasa geometri, Teorema Nilai Rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema menyatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertical pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada garfik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian; dalam Gambar 2, terdapat beberapa.

Teorema A

(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a, b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a, b) dimana

f(b) – f(a) = f ‘(c)

b – a

atau, secara, dimana

f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a)

Teorema B

Jika F ‘(x) = G ‘(x) untuk semua x dalam (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + C

untuk semua x dalam (a, b)

CONTOH SOAL

1. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum

f(x) = x² – 4x pada (-2, 0)  turunan fungsi f(x) = 2x – 4

titik kritis f(x) = 2x – 4 = 0

2x = 4

x = 2

titik kritisnya { -2, 0, 2 }

X = -2 f(-2) = (-2)² – 4(-2)

= 4 + 8

= -4

X = 0 f(0) = (0)² – 4(0)

= 0

X = 2 f(2) = (2)² – 4(2)

= 4 – 8

= -4

Jadi, nilai fungsi maksimum di f(-2) = 12

nilai fungsi minimum di f(2) = -4

Grafik

2. Jika f(x) = 2x³ – 3x² + 12x . Cari dimana x naik dan dimana turun ?

Penyelesaian :

Mencari turunan f

f `(x) = 6x² – 6x +12

= 6(x² + x – 2)

= 6(x – 1) (x + 2)

Kita perlu menentukan (x – 1) (x +2) > 0 dan (x – 1) (x + 2) < 0 terdapat titik pemisah 1 dan -2, membagi sumbu y atas tiga selang ( – ~, 1), (-2, 1) dan (2, ∞). Dengan memakai titik uji –3, 0, 2 didapat f `(x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f `(x) < 0 pada selang tengah.

Jadi, f naik pada (- ~, 1] dan [2, ~) dan turun pada [-2, 1]

f(-2) = -4

f(0) = 0

f(1) = 11

f(-1) = -17

3. Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x² – 2x pada ( – ~,~ )

Penyelesaian :

Fungsi polinom f kontinu dimana-mana dan turunannya, f ` (x) = 2x – 2, ada untuk semua x. jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f `(x) = 0 yaitu x = 1 karena 2(x -1) > 0 untuk x < 1, f turun pada [1, ~) karena itu, f(1)=-1 adalah nilai inimum local f karena 1 adalah satu-satunya bilanagn kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain.

Grafik

4. Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 2x³ – 3x²+ 6

pada ( – ~, ~).

Penyelesaian :

f“(x) = 6x² – 6x = x(6x –6)

x =0 x = 1

f(1) = 2x³ – 3x²+ 6

= 2(1)³ – 3(1)² + 6

= 5

f(0) = 2x³ – 3x² + 6=2(0)³– 3(0)² + 6 = 6

Jadi, f(1) = -1 adalah minimum lokal untuk f

f turun disebelah kiri dan f naik sebelah kanan

Grafik            

5.  Perusahaan MNO menghasilkan lemari rotan. Dengan mesinnya sekarang, mempunyai keluaran tahunan maksimum sebanyak 200 satuan. Jika ia membuat x lemari, dapat menetapkan harga p(x) = 100 – 0.25 x (ribu) rupiah perbuahnya dan akan mempunyai total biaya tahunan C(x) = 2000 + 4x – (0,002)x² (ribu) rupiah. Berapa tingkat produksi yang memaksimumkan total laba tahunan?

Penyelesaian : R(x) = xp(x) = x(100 – 0.25x) = 100x – 0.25x²

Sehingga

p(x) = 100x – 0.25x² – (2000 + 4x – 0,002x²)

= – 2000 + 96x – 0.248 x²

Jadi, dp = 96 – 0,496x

dx 96 = 0,496 x

96 = x

0.496

193 = x

Yang menghasilkan titik stasioner 193, tetapi 193 tidak ada selang [0, 200], sehingga titik kritis yang diperiksa hanyalah kedua titik ujung, 0 dan 200 bangkrut. Tetapi todak maksimumya terjadi di 200 dan keuntungan maksimumnya adalah

P(x) = – 2000 +96x – 0,248x²

= -2000 +96 (200) -0,248 (200)² = -2000 +19200 -9920 =Rp. 7. 280

6. lim 7x² + 6x – 5

x→∞ 3x³ + 5x

lim 7x²/x³ + 6x/x³ + 5/x³

x→∞ 3x³/x³ + 5x/x³

lim 7/x + 6/x² + 5/x³ = 0 = 0

x→∞ 3 + 5/x² 3

7. Sketsakan grafik f(x) = (x⁴– 8x²)/40

penyelesaian :

karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik asal. Dengan menetapkan f(x) = 0 berarti {x⁴ – 8x²}/40 = 0 dan x²(x² – 8)/40 = 0

kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan ± Ö8 » 2,8 Kemudian kita deferensialkan f’(x) = (4x³ – 16x)/40 = 0

kita peroleh titik kritis -2, 0,2

f(-2) = 16

f(0) = 0

f(2) = 16

kemudian kita deferensialkan kembali f”(x) = (12x² -16x)/40 = 0

kita peroleh x = -1,1 x = 1,1 x = 0

f(-1.1) = 0,2

f(1.1) = 0,2

f(0) = 0

 

Semoga blog ini bermanfat :)............www.google.com